ayudame a entender y desarrollar esta integral---A = \int_{2}^{8} (10 - x) dx

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Vamos a resolver paso a paso la integral definida A igual a la integral desde 2 hasta 8 de 10 menos x dx. Esta integral representa el área bajo la curva de la función f de x igual a 10 menos x, desde x igual a 2 hasta x igual a 8. Podemos ver gráficamente que esta función es una línea recta decreciente, y el área que buscamos está sombreada en azul. El primer paso para resolver la integral definida es encontrar la antiderivada de la función f de x igual a 10 menos x. Aplicamos las reglas básicas de integración: la integral de 10 es 10x, y la integral de x es x al cuadrado sobre 2. Por lo tanto, la antiderivada F de x es igual a 10x menos x al cuadrado sobre 2. En la gráfica podemos ver la función original en azul y su antiderivada en rojo. Ahora evaluamos la antiderivada F de x en los límites de integración. Primero, en el límite superior x igual a 8: F de 8 es igual a 10 por 8 menos 8 al cuadrado sobre 2, que es 80 menos 32, igual a 48. Luego, en el límite inferior x igual a 2: F de 2 es igual a 10 por 2 menos 2 al cuadrado sobre 2, que es 20 menos 2, igual a 18. En la gráfica vemos estos puntos marcados en la antiderivada. Finalmente, aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece que la integral definida de a hasta b de f de x dx es igual a F de b menos F de a. En nuestro caso, A es igual a F de 8 menos F de 2, que es 48 menos 18, igual a 30. Por lo tanto, el área bajo la curva de la función f de x igual a 10 menos x, desde x igual a 2 hasta x igual a 8, es exactamente 30 unidades cuadradas. Para resumir lo que hemos aprendido: resolvimos la integral definida paso a paso. Primero identificamos que representa el área bajo la curva. Luego encontramos la antiderivada aplicando las reglas de integración. Evaluamos la antiderivada en los límites superior e inferior. Finalmente aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo para obtener el resultado final de 30 unidades cuadradas.