A function is like a magical machine or rule. You give it an input, and it follows a specific rule to give you exactly one output. Think of it like a vending machine - you insert a coin and press a button, and the machine gives you a specific snack. The same button will always give you the same snack, never something different.
函數就像一台神奇的機器！你可以把它想像成自動販賣機，當你投入硬幣時，機器會給你一瓶飲料。在數學中，函數的工作原理也是一樣的：你輸入一個數字，函數會輸出另一個數字。就像微波爐，你設定時間，它就加熱相應的程度；或者電梯，你按樓層按鈕，它就帶你到指定樓層。
在數學中，我們用特殊的記號來表示函數。輸入通常稱為x，也叫做自變數，輸出稱為y或f of x，也叫做因變數。例如，如果我們有函數f of x等於2x加1，這表示我們把輸入乘以2再加1。當x等於3時，我們得到f of 3等於2乘以3加1，等於7。關鍵規則是相同的輸入總是產生相同的輸出。
函數也可以用圖像來表示。在座標系統中，橫軸代表輸入x，縱軸代表輸出y。每個點都表示一對輸入和輸出的關係。例如，函數f of x等於2x加1畫出來是一條直線。我們可以看到點零逗號一、一逗號三、二逗號五、三逗號七等等。注意每個x值只對應一個y值，這正是函數的重要特性。
數學中有許多不同類型的函數。線性函數像f of x等於ax加b，圖形是直線。二次函數像f of x等於ax平方加bx加c，圖形是拋物線。指數函數像f of x等於a的x次方，增長很快。雖然形狀不同，但它們都遵循函數的基本規則：每個輸入只對應一個輸出。這些函數在我們的日常生活中無處不在。
讓我們總結一下函數的重要概念。函數是輸入和輸出之間的特殊關係，每個輸入只對應一個輸出。我們可以用機器的比喻、數學公式或圖像來理解函數。函數不僅在數學中很重要，在我們的日常生活中也無處不在。掌握函數的概念是學習高等數學的重要基礎。
Functions can also be represented using graphs. In a coordinate system, the horizontal axis represents the input x, and the vertical axis represents the output y. Each point represents a pair of input and output relationships. For example, the function f of x equals 2x plus 1 draws a straight line. We can see points like zero comma one, one comma three, two comma five, three comma seven, and so on. Notice that each x value corresponds to only one y value, which is exactly the important characteristic of functions.
函數是數學中的一個重要概念。我們可以把函數想像成一台神奇的機器。當你向這台機器輸入一個數字時，它會按照特定的規則處理這個數字，然後輸出一個結果。最重要的是，相同的輸入總是會得到相同的輸出。
函數有多種表示方法。最常見的是使用函數記號，比如 f(x) = x + 1，這裡 f 是函數名，x 是輸入變數，x + 1 是計算規則。我們也可以用表格來表示函數關係，清楚地顯示每個輸入對應的輸出。
函數也可以用圖形來表示。在座標系統中，橫軸代表輸入值 x，縱軸代表輸出值 y。函數圖形上的每一個點都表示一個輸入輸出的對應關係。比如點 (1, 2) 表示當輸入是 1 時，輸出是 2。
要判斷一個圖形是否代表函數，我們可以使用垂直線檢驗法。想像畫一條垂直線，從左到右掃描整個圖形。如果垂直線在任何位置最多只與圖形相交一次，那麼這個圖形就代表一個函數。這是因為垂直線代表所有具有相同 x 值的點，如果相交超過一次，就意味著一個輸入對應多個輸出，這違反了函數的規則。
讓我們回顧一下今天學到的重點。函數是描述輸入與輸出對應關係的重要數學概念，相同的輸入總是產生相同的輸出。我們可以用多種方式表示函數，包括函數記號、表格和圖形。垂直線檢驗法是判斷圖形是否代表函數的有效方法。函數是數學的基礎工具，在我們的日常生活中隨處可見。
Let us review the key points we learned today. A function is an important mathematical concept that describes the relationship between input and output, where the same input always produces the same output. We can represent functions in multiple ways, including function notation, tables, and graphs. The vertical line test is an effective method for determining whether a graph represents a function. Functions are fundamental tools in mathematics and can be found everywhere in our daily lives.