Bienvenidos. Hoy vamos a entender qué es una integral básica. La integral es una operación fundamental del cálculo que tiene dos interpretaciones principales. Primera, es la operación inversa de la derivada, es decir, nos ayuda a encontrar la función original cuando conocemos su derivada. Segunda, representa el área bajo la curva de una función, como vemos en esta gráfica donde el área sombreada representa la integral de la función en ese intervalo.
Ahora veamos la integral como la operación inversa de la derivada. Si sabemos que la derivada de x al cuadrado es dos x, entonces la integral de dos x nos devuelve x al cuadrado. En la gráfica vemos la función original en azul y su derivada en rojo. La flecha verde muestra el proceso de derivación, mientras que la flecha morada muestra la integración. Es importante recordar que siempre debemos añadir una constante C al resultado, porque la derivada de cualquier número constante es cero.
Ahora veamos la segunda interpretación: la integral como área bajo la curva. La integral definida nos permite calcular el área exacta entre una función y el eje x, dentro de un intervalo específico. Esta área se aproxima usando sumas de Riemann, que consisten en sumar las áreas de muchos rectángulos muy delgados. Observen cómo al aumentar el número de rectángulos, la aproximación se vuelve más precisa. Los límites a y b definen el intervalo de integración, y dx indica que integramos con respecto a la variable x.
Ahora veamos la notación y símbolos de la integral. El símbolo de integral es una S alargada que proviene de la palabra suma. En una integral definida, tenemos límites superior e inferior que definen el intervalo. La función f de x es lo que queremos integrar, y dx indica que integramos con respecto a la variable x. Existen dos tipos principales: la integral indefinida, que nos da la antiderivada más una constante, y la integral definida, que calcula un valor numérico específico representando el área bajo la curva.
Para resumir lo que hemos aprendido sobre las integrales básicas: La integral tiene dos interpretaciones fundamentales. Primera, como la operación inversa de la derivada, nos permite encontrar la función original. Segunda, como el cálculo del área bajo la curva de una función. Es crucial recordar siempre incluir la constante C en las integrales indefinidas, y entender que la notación integral de f de x dx indica que estamos integrando con respecto a la variable x. Estos conceptos forman la base del cálculo integral.