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我们要解方程 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120。首先，我们重新分组这些因子，将 (x+1) 和 (x+4) 分为一组，(x+2) 和 (x+3) 分为一组。然后展开每组：第一组得到 x²+5x+4，第二组得到 x²+5x+6。这样原方程就变成了 (x²+5x+4)(x²+5x+6)=120。
现在我们使用变量替换法来简化方程。设 y 等于 x² + 5x，那么原方程就变成了 (y+4)(y+6) = 120。展开这个方程得到 y² + 10y + 24 = 120，整理后得到 y² + 10y - 96 = 0。对这个二次方程进行因式分解，得到 (y+16)(y-6) = 0，所以 y = -16 或 y = 6。
现在我们将 y 的值代回原来的方程求解 x。当 y = 6 时，我们有 x² + 5x = 6，整理得 x² + 5x - 6 = 0，因式分解得 (x+6)(x-1) = 0，所以 x = 1 或 x = -6。当 y = -16 时，我们有 x² + 5x + 16 = 0，计算判别式得到 -39 小于 0，所以这个方程有两个复数解：x = (-5 ± i√39)/2。
让我们验证一下实数解的正确性。当 x = 1 时，原方程左边等于 2 × 3 × 4 × 5 = 120，正确。当 x = -6 时，原方程左边等于 (-5) × (-4) × (-3) × (-2) = 120，也正确。因此，原方程的完整解为：两个实数解 x = 1 和 x = -6，以及两个复数解 x = (-5 ± i√39)/2。
总结一下我们解这个四次方程的过程：首先通过重新分组简化了方程结构，然后使用变量替换法将四次方程转化为二次方程，成功求得了两个实数解和两个复数解，并验证了实数解的正确性。这种方法展示了处理高次方程的有效策略。