请解答图片中的问题---Question Number: 21. Problem Statement: It is known that the function $f(x) = ax^2 - ax - x \ln x$, and $f(x) \ge 0$. (i) Find the value of $a$; (ii) Prove that $f(x)$ has a unique maximum point $x_0$, and satisfies $e^{-2} < f(x_0) < \frac{1}{4}$.

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我们来分析这个函数。已知函数f(x)等于ax平方减去ax减去x乘以ln x，且f(x)大于等于零对所有x大于零成立。首先计算f(1)等于零，这说明x等于1是一个关键点。由于f(x)非负且f(1)等于零，所以x等于1必须是最小值点。对函数求导得到f'(x)，利用极值条件f'(1)等于零，可以求出a等于1。 现在验证a等于1的正确性。当a等于1时，函数变为f(x)等于x乘以括号x减1减ln x。我们令g(x)等于x减1减ln x，求导得到g'(x)。分析可知g(x)在x等于1处取得最小值0，因此g(x)大于等于0对所有x大于0成立。由于x大于0且g(x)大于等于0，所以f(x)等于x乘以g(x)大于等于0，验证了a等于1的正确性。 现在进入第二部分，证明f(x)有唯一最大值点。对f(x)求导得到f'(x)等于2x减2减ln x。令f'(x)等于0，设h(x)等于2x减2减ln x。通过分析h(x)的性质，可知h(x)等于0有两个解：一个是x0在区间0到二分之一内，另一个是x等于1。通过单调性分析可以证明f(x)在x0处取得唯一最大值。 最后证明最大值的范围。首先计算f(x0)的表达式，利用x0满足的条件，可以得到f(x0)等于x0乘以1减x0。然后证明上界：由于x0在0到二分之一区间内，利用函数k(x)等于x乘以1减x的单调性，可得f(x0)小于四分之一。接着证明下界：通过比较函数值和单调性分析，可以证明e的负2次方小于f(x0)。因此得到最终结论。 总结一下我们的解题过程。首先通过f(1)等于0和极值条件确定了参数a等于1。然后验证了当a等于1时函数f(x)大于等于0恒成立。接着证明了f(x)存在唯一最大值点x0在区间0到二分之一内。最后建立了最大值的精确范围：e的负2次方小于f(x0)小于四分之一。整个过程运用了导数分析、单调性和不等式证明等重要的数学技巧。