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我们要求函数 f(x) 等于绝对值 x 加 1 减去绝对值 x 减 2 的最大值。首先，我们需要找出绝对值函数的关键点，即使绝对值表达式为零的点。x 加 1 等于零时 x 等于负 1，x 减 2 等于零时 x 等于 2。这两个关键点将数轴分为三个区间，我们需要在每个区间内分别讨论函数的性质。
现在我们分三个区间来讨论函数的表达式。当 x 小于负 1 时，x 加 1 小于 0，x 减 2 也小于 0，所以 f(x) 等于负的 x 加 1 减去负的 x 减 2，化简后得到负 3。当负 1 小于等于 x 小于 2 时，x 加 1 大于等于 0，x 减 2 小于 0，所以 f(x) 等于 x 加 1 减去负的 x 减 2，化简后得到 2x 减 1。当 x 大于等于 2 时，x 加 1 大于 0，x 减 2 大于等于 0，所以 f(x) 等于 x 加 1 减去 x 减 2，化简后得到 3。
现在我们分析各个区间的函数性质。在第一个区间 x 小于负 1 时，函数值恒为负 3。在第二个区间负 1 小于等于 x 小于 2 时，函数 f(x) 等于 2x 减 1，这是一个递增函数，从 f 负 1 等于负 3 递增到接近 f(2) 等于 3。在第三个区间 x 大于等于 2 时，函数值恒为 3。通过比较可以看出，函数的最大值为 3，在 x 大于等于 2 的区间内取得。
现在我们得出最终答案。函数 f(x) 等于绝对值 x 加 1 减去绝对值 x 减 2 的最大值为 3，当且仅当 x 大于等于 2 时取得。我们可以验证几个具体的值：当 x 等于 2 时，f(2) 等于 3 减 0 等于 3；当 x 等于 3 时，f(3) 等于 4 减 1 等于 3；当 x 等于 5 时，f(5) 等于 6 减 3 等于 3。这证实了我们的结论是正确的。
通过这个例题，我们学习了求解绝对值函数最值的方法。关键步骤包括：找出绝对值函数的零点，分区间讨论各区间内的函数表达式，分析函数性质并比较各区间的函数值。对于函数 f(x) 等于绝对值 x 加 1 减去绝对值 x 减 2，我们得到最大值为 3，当 x 大于等于 2 时取得。这种分区间讨论的方法是解决绝对值函数问题的通用方法。