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费马小定理是数论中的一个重要定理，它揭示了素数与幂运算之间的神奇关系。定理有两种表述形式：第一种是a的p次方与a在模p下同余，其中p是素数，a是任意整数。第二种是当a与p互质时，a的p减一次方与1在模p下同余。让我们看一个例子，当p等于5时，2的5次方等于32，模5余2；3的5次方等于243，模5余3；4的5次方等于1024，模5余4，完美验证了定理。
现在我们来看费马小定理的证明思路。我们使用数学归纳法来证明。首先是基础步骤：当a等于1时，显然1的p次方与1在模p下同余。然后是归纳假设：假设对于某个k，有k的p次方与k在模p下同余。接下来是归纳步骤：我们需要证明k加1的p次方与k加1在模p下同余。关键在于利用二项式定理展开。当我们展开k加1的p次方时，得到二项式系数的和。而当p是素数时，对于1到p减1之间的所有i，二项式系数p选i都能被p整除，这是证明的关键所在。
费马小定理有许多重要的应用。首先是素性检验，如果a的p减1次方不与1在模p下同余，则p一定不是素数，这为我们提供了一种快速排除合数的方法。其次是模运算简化，可以用来计算大数的幂在模意义下的值。第三是密码学基础，费马小定理是RSA算法等现代密码系统的数学基础之一。第四是数论研究，它是欧拉定理等更一般定理的基础。让我们看一个计算示例：求2的100次方模7的值。由费马小定理，2的6次方与1在模7下同余。因为100等于6乘以16加4，所以2的100次方等于2的6次方的16次方乘以2的4次方，这与1的16次方乘以16在模7下同余，最终结果是2。
除了费马小定理，还有著名的费马大定理，它是数学史上最著名的猜想之一。定理内容是：当n大于2时，方程x的n次方加y的n次方等于z的n次方没有正整数解。这个猜想有着传奇的历史背景。1637年，费马在阅读丢番图的《算术》时，在书页边缘写下了这个猜想，并声称他有一个绝妙的证明，但书页空间不够写下。此后357年来，无数数学家尝试证明这个猜想都以失败告终。直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才最终完成了证明。我们知道当n等于2时，方程有解，比如3的平方加4的平方等于5的平方。但当n等于3或4时，都没有正整数解。事实上，对于所有大于2的n，都没有正整数解。这个定理的证明推动了现代数学许多分支的发展。
让我们总结一下今天学习的内容。费马小定理揭示了素数与幂运算之间的深刻关系，它有两种表述形式，适用于不同的情况。我们可以用数学归纳法结合二项式定理来证明这个定理。费马小定理在素性检验、模运算简化、密码学等多个领域都有重要应用。此外，我们还了解了费马大定理，这是数学史上最著名的猜想之一，经过三百多年才被证明。费马定理不仅展现了数学的美妙，也推动了现代数学和计算机科学的发展。