视频字幕
这是一道关于对称多项式的八年级奥数题。已知三个变量a、b、c满足：a加b加c等于1，a平方加b平方加c平方等于2，a立方加b立方加c立方等于3。我们需要求出abc的值，以及a四次方加b四次方加c四次方的值。
解决这类问题的关键是引入基本对称多项式。设e1等于a加b加c等于1，e2等于ab加bc加ca，e3等于abc。这些是我们要求的未知量。利用恒等式：a加b加c的平方等于a平方加b平方加c平方加上2倍的ab加bc加ca。代入已知条件：1的平方等于2加上2倍e2，解得e2等于负二分之一。
现在我们利用立方和恒等式来求abc的值。恒等式为：a立方加b立方加c立方减去3abc等于a加b加c乘以a平方加b平方加c平方减去ab加bc加ca。代入已知条件：3减去3倍e3等于1乘以2减去负二分之一，即3减去3倍e3等于二分之五。解这个方程得到e3等于六分之一，因此abc等于六分之一。
接下来我们利用牛顿幂和公式求解a四次方加b四次方加c四次方。设Sn等于a的n次方加b的n次方加c的n次方，已知S1等于1，S2等于2，S3等于3。牛顿幂和递推公式为：Sn减去e1乘以Sn减1加上e2乘以Sn减2减去e3乘以Sn减3等于0。对于n等于4，代入已知值计算得到S4等于二十五分之六。
总结一下这道奥数题的解答过程。我们利用基本对称多项式的方法，通过恒等式求得ab加bc加ca等于负二分之一，再利用立方和恒等式求得abc等于六分之一，最后运用牛顿幂和公式求得a四次方加b四次方加c四次方等于二十五分之六。对称多项式是解决此类问题的有效方法。