视频字幕
三角函数是数学中描述角度与边长关系的重要函数。在直角三角形中，我们定义正弦为对边除以斜边，余弦为邻边除以斜边，正切为对边除以邻边。这些定义帮助我们理解角度与三角形边长之间的数量关系。
单位圆为三角函数提供了更广泛的定义。在以原点为圆心、半径为1的单位圆上，任意角theta对应圆上一点，该点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当点沿着圆周运动时，我们可以观察到三角函数值的变化规律。
三角函数的图像清楚地展示了它们的周期性质。正弦函数的图像是一条平滑的波浪线，从零开始，在二分之派处达到最大值1，在派处回到零，在二分之三派处达到最小值负1，最后在二派处回到零。余弦函数的图像与正弦函数相似，但向左平移了二分之派。这两个函数都具有二派的周期。
三角函数有许多重要的恒等式。最基本的是勾股恒等式：正弦的平方加余弦的平方等于1。这可以通过单位圆直观理解，因为单位圆上任意一点到原点的距离都是1。还有加法公式、商的恒等式等。这些恒等式在数学推导和实际应用中都非常重要。
通过这次学习，我们了解了三角函数的基本概念。三角函数描述了角度与边长的关系，单位圆的定义扩展了函数的定义域，使其具有周期性。正弦和余弦函数呈现波动特性，三角恒等式是重要的数学工具。这些知识在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用价值。