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托勒密定理是古希腊数学家托勒密发现的关于圆内接四边形的重要定理。对于圆内接四边形ABCD，定理指出：两对对边的乘积之和等于两条对角线的乘积，即AB乘以CD加上BC乘以DA等于AC乘以BD。
托勒密定理的数学表达式为：AB乘以CD加上BC乘以DA等于AC乘以BD。这里AB、BC、CD、DA表示四边形的四条边，而AC、BD表示两条对角线。需要特别注意的是，这个定理只适用于圆内接四边形，也就是四个顶点都在同一个圆上的四边形。
让我们用正方形来验证托勒密定理。正方形是圆内接四边形的特例。设正方形边长为a，那么左边的计算是：a乘以a加上a乘以a等于2a的平方。右边的计算是：对角线长度为根号2倍a，所以根号2a乘以根号2a等于2a的平方。验证结果：2a的平方等于2a的平方，定理成立。
托勒密定理还有一个重要的逆定理：如果一个四边形满足AB乘以CD加上BC乘以DA等于AC乘以BD这个等式，那么这个四边形一定是圆内接四边形。这个逆定理为我们提供了一个判断四边形是否为圆内接四边形的有效方法。只需要验证托勒密等式是否成立即可。
总结一下托勒密定理的要点：托勒密定理描述了圆内接四边形中边长和对角线的关系，公式为AB乘以CD加上BC乘以DA等于AC乘以BD。逆定理为我们提供了判断四边形是否为圆内接四边形的方法。这个定理在几何学和三角学中都有重要的应用价值。