可数理论T是完备的 ⇔ T一致且T的任意两个有限或可数模型都有同构的初等等价扩张。

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

我们来分析一个关于可数理论完备性的等价条件陈述。该陈述声称：可数理论T是完备的，当且仅当T一致且T的任意两个有限或可数模型都有同构的初等等价扩张。经过仔细分析，我们将证明这个陈述是错误的。 首先，我们需要明确完备性的正确定义。理论T是完备的当且仅当，对于语言中的任意语句φ，要么T证明φ，要么T证明φ的否定。等价地说，T完备当且仅当T一致且T的任意两个模型都是初等等价的。原陈述的问题在于，它要求同构的初等等价扩张，这个条件过强。 我们通过一个具体反例来说明原陈述的错误。考虑稠密线性序理论DLO，它是一个完备理论。有理数Q和实数R都是DLO的模型，它们是初等等价的，但不同构，因为它们的基数不同。原陈述要求同构的初等等价扩张，这个条件过强，因为完备理论可以有不同基数的模型。因此，从右到左的蕴含不成立，原陈述是错误的。 首先，我们需要明确完备性的正确定义。理论T是完备的当且仅当，对于语言中的任意语句φ，要么T证明φ，要么T证明φ的否定。等价地说，T完备当且仅当T一致且T的任意两个模型都是初等等价的。原陈述的问题在于，它要求同构的初等等价扩张，这个条件过强。