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二重积分换序是多元积分中的重要技巧。当我们遇到难以直接计算的积分时,可以通过改变积分顺序来简化计算。换序的关键是正确描述积分区域的边界条件。
我们来分析第一个例题。给定积分的积分区域由不等式零小于等于y小于等于一,三y小于等于x小于等于三确定。通过画图可以看出,这是一个三角形区域,三个顶点分别是原点、三零点和三一点。
现在进行换序。对于固定的x值,y的范围从零到x除以三。换序后的积分变为从零到三对x积分,从零到x除以三对y积分。计算内层积分得到x乘以e的x平方次方除以三,然后用换元法求解最终结果。
莱布尼茨公式用于求解积分限或被积函数含有参数的定积分的导数。公式包含三项:上限函数在积分点的值乘以上限导数,减去下限函数在积分点的值乘以下限导数,加上被积函数对参数的偏导数的积分。