仿射函数是数学中一个重要概念，它是线性变换与平移的组合。仿射函数的一般形式为 f(x) 等于 A 乘以 x 加上 b，其中 A 是线性变换矩阵，b 是平移向量，x 是输入向量。图中蓝色直线表示线性函数，红色直线表示仿射函数，可以看到仿射函数是在线性函数基础上进行了向上平移。
对于一元仿射函数，其形式为 f(x) 等于 a 乘以 x 加上 b，其中 a 是斜率或线性系数，b 是截距或平移量。以函数 f(x) 等于 2x 加 3 为例，斜率 a 等于 2，表示 x 每增加 1，y 增加 2；截距 b 等于 3，表示函数图像与 y 轴的交点在 y 等于 3 处。这就是一元仿射函数的基本特征。
仿射函数与线性函数有着密切的关系。线性函数的形式为 f(x) 等于 A 乘以 x，而仿射函数的形式为 f(x) 等于 A 乘以 x 加上 b。当 b 等于 0 时，仿射函数就退化为线性函数。因此，所有线性函数都是仿射函数，但仿射函数不一定是线性函数。关键区别在于线性函数必须通过原点，而仿射函数不一定通过原点。图中蓝色直线是线性函数，红色直线是仿射函数，它们平行但不重合。
仿射函数具有几个重要的性质。首先，它保持共线性，即直线上的点经过仿射变换后仍然在一条直线上。其次，它保持平行性，平行线变换后仍然平行。第三，它保持比例关系，线段长度的比例保持不变。最后，仿射函数不一定保持原点不变，除非平移向量 b 等于零。图中展示了一个简单的仿射变换例子，蓝色直线上的点经过变换后得到红色直线上对应的点，可以看到直线性质得到了保持。