仿射函数是数学中一个重要概念,它是线性变换与平移的组合。仿射函数的一般形式为 f(x) 等于 A 乘以 x 加上 b,其中 A 是线性变换矩阵,b 是平移向量,x 是输入向量。图中蓝色直线表示线性函数,红色直线表示仿射函数,可以看到仿射函数是在线性函数基础上进行了向上平移。
对于一元仿射函数,其形式为 f(x) 等于 a 乘以 x 加上 b,其中 a 是斜率或线性系数,b 是截距或平移量。以函数 f(x) 等于 2x 加 3 为例,斜率 a 等于 2,表示 x 每增加 1,y 增加 2;截距 b 等于 3,表示函数图像与 y 轴的交点在 y 等于 3 处。这就是一元仿射函数的基本特征。
仿射函数与线性函数有着密切的关系。线性函数的形式为 f(x) 等于 A 乘以 x,而仿射函数的形式为 f(x) 等于 A 乘以 x 加上 b。当 b 等于 0 时,仿射函数就退化为线性函数。因此,所有线性函数都是仿射函数,但仿射函数不一定是线性函数。关键区别在于线性函数必须通过原点,而仿射函数不一定通过原点。图中蓝色直线是线性函数,红色直线是仿射函数,它们平行但不重合。
仿射函数具有几个重要的性质。首先,它保持共线性,即直线上的点经过仿射变换后仍然在一条直线上。其次,它保持平行性,平行线变换后仍然平行。第三,它保持比例关系,线段长度的比例保持不变。最后,仿射函数不一定保持原点不变,除非平移向量 b 等于零。图中展示了一个简单的仿射变换例子,蓝色直线上的点经过变换后得到红色直线上对应的点,可以看到直线性质得到了保持。