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函数变换是数学中的重要概念，它通过对函数表达式进行特定的数学运算，来改变函数图像的位置、方向、大小或形状。主要的变换类型包括平移、反射和伸缩。让我们从一个简单的二次函数开始，来理解这些变换的效果。
平移变换是最基本的函数变换。垂直平移通过在函数外部加减常数实现，y等于f(x)加c。当c大于0时，图像向上平移；当c小于0时，图像向下平移。水平平移通过在x前加减常数实现，y等于f(x减c)。注意方向与符号相反：c大于0时向右平移，c小于0时向左平移。
反射变换改变函数图像的方向。关于x轴的反射通过在函数前加负号实现，y等于负f(x)，使图像上下翻转。关于y轴的反射通过将x替换为负x实现，y等于f(负x)，使图像左右翻转。这两种反射变换在函数分析中经常用到。
伸缩变换改变函数图像的大小。垂直伸缩通过在函数前乘以常数a实现，y等于a乘以f(x)。当a的绝对值大于1时垂直拉伸，当a的绝对值在0到1之间时垂直压缩。水平伸缩通过在x前乘以常数b实现，y等于f(bx)。注意效果相反：b的绝对值大于1时水平压缩，b的绝对值在0到1之间时水平拉伸。
总结函数变换的规律：函数外部的加减和乘法运算影响垂直变换，包括垂直平移和垂直伸缩。函数内部的运算影响水平变换，包括水平平移和水平伸缩。需要特别注意的是，水平变换的方向与符号相反，伸缩效果与系数大小成反比。掌握这些变换规律，可以帮助我们快速分析和绘制各种函数的图像。