求解该题---Question: 3. 在测量误差模型中，x\* 无法被观测，x\_i 和 z\_i 是其带有经典测量误差的两个测度，满足 $$ \left\{ \begin{array}{l} y\_i = \beta\_0 + \beta\_1 x\*\_i + u\_i, \text{E}(u\_i | x\*\_i) = 0, \\ x\_i = x\*\_i + v\_i, \\ z\_i = x\*\_i + w\_i, \\ v\_i \perp x\*\_i, w\_i \perp x\*\_i, w\_i \perp v\_i, w\_i \perp u\_i. \end{array} \right. $$ 将 z\_i 作为 x\_i 的工具变量，实施两步最小二乘估计。证明 $$ \hat{\beta}\_{1}^{2SLS} \stackrel{p}{\longrightarrow} \beta\_1. $$ [提示: 注意到 $\hat{\beta}\_{1}^{2SLS} \stackrel{p}{\longrightarrow} \text{Cov}(z\_i, y\_i) / \text{Cov}(z\_i, x\_i)]$

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在计量经济学中，测量误差是一个重要问题。当真实变量无法直接观测时，我们需要使用工具变量方法。本题中，真实变量 x 星号无法观测，我们只能观测到带有测量误差的 x i 和 z i。模型包含三个方程：y i 等于 beta 零加 beta 一乘以 x 星号 i 加 u i，x i 等于 x 星号 i 加 v i，z i 等于 x 星号 i 加 w i。关键假设是各误差项相互独立。我们的目标是证明使用 z i 作为 x i 的工具变量时，两步最小二乘估计量依概率收敛到真实参数。 两步最小二乘法是处理内生性问题的重要方法。第一步，我们用工具变量 z i 对内生变量 x i 进行回归，得到 x i 等于 pi 零加 pi 一乘以 z i 加 epsilon i，从而获得拟合值 x 帽 i。第二步，我们用拟合值 x 帽 i 替代原方程中的 x i，进行第二阶段回归。根据大样本理论，两步最小二乘估计量 beta 一帽依概率收敛到协方差 z i 和 y i 除以协方差 z i 和 x i。接下来我们将详细计算这两个协方差。 现在我们计算协方差 z i 和 y i。首先将模型方程代入，得到协方差 x 星号 i 加 w i 与 beta 零加 beta 一 x 星号 i 加 u i 的协方差。由于常数项不影响协方差，我们可以简化为协方差 x 星号 i 加 w i 与 beta 一 x 星号 i 加 u i。利用协方差的线性性质展开后，根据模型的独立性假设，协方差 x 星号 i 和 u i 等于零，协方差 w i 和 x 星号 i 等于零，协方差 w i 和 u i 也等于零。因此最终结果是协方差 z i 和 y i 等于 beta 一乘以 x 星号 i 的方差。 接下来计算协方差 z i 和 x i。将模型方程代入得到协方差 x 星号 i 加 w i 与 x 星号 i 加 v i。展开后根据独立性假设，协方差 x 星号 i 和 v i 等于零，协方差 w i 和 x 星号 i 等于零，协方差 w i 和 v i 也等于零。因此协方差 z i 和 x i 等于 x 星号 i 的方差。现在我们可以完成最终证明：两步最小二乘估计量依概率收敛到协方差 z i 和 y i 除以协方差 z i 和 x i，等于 beta 一乘以 x 星号 i 的方差除以 x 星号 i 的方差，最终等于 beta 一。证明完毕。 总结一下我们的证明过程。在测量误差模型中，当真实变量无法观测时，我们需要使用工具变量方法。两步最小二乘法通过两阶段回归有效解决了内生性问题。证明的关键在于工具变量与各误差项的独立性假设。通过详细的协方差计算，我们证明了两步最小二乘估计量具有一致性，即 beta 一帽依概率收敛到真实参数 beta 一。这为实际应用中处理测量误差问题提供了理论基础。