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函数的单调性是数学中的重要概念。它描述了函数在某个区间上随着自变量增大时，函数值的变化规律。单调递增意味着当x1小于x2时，f(x1)小于等于f(x2)。单调递减则相反，当x1小于x2时，f(x1)大于等于f(x2)。
判断函数单调性最基本的方法是定义法。首先在给定区间内任取两个值x1小于x2，然后计算对应的函数值f(x1)和f(x2)，比较它们的大小关系。以f(x)等于x的平方为例，在区间零到正无穷上，当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)，因此函数在此区间上单调递增。
导数法是判断函数单调性的重要方法。当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减。以f(x)等于x的三次方减去3x为例，求导得f'(x)等于3x的平方减去3。令导数等于零，得到临界点x等于负1和x等于1。分析各区间导数的符号，可知函数在负无穷到负1和1到正无穷上递增，在负1到1上递减。
让我们总结一些常见函数的单调性规律。一次函数的单调性由斜率k决定，k大于零时递增，k小于零时递减。二次函数在对称轴两侧单调性相反。幂函数当指数大于零时在正数区间上递增。指数函数当底数大于1时递增，当底数在0到1之间时递减。掌握这些规律有助于快速判断函数的单调性。
通过本节学习，我们了解了函数单调性的概念和判断方法。函数单调性描述了函数值随自变量变化的规律。我们可以用定义法比较任意两点函数值的大小关系，也可以用导数法通过导数符号来判断。掌握常见函数的单调性规律，有助于我们更好地分析和理解函数的性质。