讲解怎么做这些题？---1. (6점, 각 2점) 다음 주어진 영역 R를 평면에 나타내고 R과 곡면 z = f(x, y)로 둘러싸인 입체의 체적을 구하여라. (1) R : x = 0, y = 0, x + y = 1이고 z = f(x, y) = x + y (2) R : y = x², x = y²이고 z = f(x, y) = 2 + 2y - x² (3) R : y = x², y = x³이고 z = f(x, y) = x + 2y

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今天我们学习如何用二重积分求体积。给定区域R和曲面z等于f(x,y)，体积等于在区域R上对函数f(x,y)的二重积分。解题步骤包括：首先画出区域R的图形，然后确定积分次序和积分限，接着建立二重积分，最后计算积分得到体积。 我们来看第一个例题。区域R由x等于0、y等于0和x加y等于1围成，这是一个三角形区域，顶点分别是原点、(1,0)和(0,1)。函数z等于x加y。我们设置积分次序为先对y积分再对x积分。当x从0到1变化时，y从0变化到1减x。建立二重积分后，先计算内层积分，得到二分之一减二分之x的平方，再计算外层积分，最终结果是三分之一。 第二个例题中，区域R由两条抛物线y等于x的平方和x等于y的平方围成。这两条曲线在原点和点(1,1)相交。在0到1的区间内，y等于x的三次方位于y等于x的平方下方。函数z等于2加2y减x的平方。我们设置积分次序为先对y积分再对x积分，y的积分范围从x的平方到x的平方根。计算后得到最终结果是42分之37。 第三个例题中，区域R由抛物线y等于x的平方和立方抛物线y等于x的三次方围成。这两条曲线同样在原点和点(1,1)相交。在0到1的区间内，x的三次方小于x的平方，所以x的三次方曲线位于x的平方曲线下方。函数z等于x加2y。我们设置积分次序为先对y积分再对x积分，y的积分范围从x的三次方到x的平方。经过计算，最终结果是28分之3。 总结一下二重积分求体积的关键要点：首先要画出积分区域R的准确图形，这是解题的基础；然后根据区域的形状选择合适的积分次序；接着正确确定积分的上下限范围；最后按照先内层后外层的顺序计算积分。我们今天解决的三个例题答案分别是三分之一、四十二分之三十七和二十八分之三。掌握这些步骤，就能熟练解决二重积分求体积问题。