How could we solve this problem show me the steps---22. Let T1: R² → R² and T2: R² → R² be the linear operators given by the formulas T1(x, y) = (x + y, x - y) and T2(x, y) = (2x + y, x - 2y) (a) Show that T1 and T2 are one-to-one. (b) Find formulas for T₁⁻¹(x, y), T₂⁻¹(x, y), (T₂ ∘ T₁ )⁻¹(x, y) (c) Verify that (T₂ ∘ T₁ )⁻¹ = T₁⁻¹ ∘ T₂⁻¹.

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

سنحل مسألة التحويلات الخطية والدوال العكسية. لدينا تحويلان خطيان T واحد و T اثنان من R تربيع إلى R تربيع. T واحد يحول x فاصلة y إلى x زائد y فاصلة x ناقص y. و T اثنان يحول x فاصلة y إلى اثنان x زائد y فاصلة x ناقص اثنان y. المطلوب إثبات أنهما واحد لواحد وإيجاد التحويلات العكسية والتحقق من خاصية التركيب. في الجزء الأول نثبت أن التحويلين واحد لواحد. نحسب محدد المصفوفة A واحد يساوي واحد في سالب واحد ناقص واحد في واحد يساوي سالب اثنان. بما أن المحدد لا يساوي صفر فإن T واحد هو واحد لواحد. وبالمثل نحسب محدد المصفوفة A اثنان يساوي اثنان في سالب اثنان ناقص واحد في واحد يساوي سالب خمسة. بما أن المحدد لا يساوي صفر فإن T اثنان هو واحد لواحد. في الجزء الثاني نوجد التحويلات العكسية. لإيجاد T واحد معكوس نحسب معكوس المصفوفة A واحد. معكوس A واحد يساوي واحد على سالب اثنان مضروب في المصفوفة سالب واحد سالب واحد سالب واحد واحد. وبالتالي T واحد معكوس لـ x فاصلة y يساوي x زائد y على اثنان فاصلة x ناقص y على اثنان. وبالمثل لإيجاد T اثنان معكوس نحسب معكوس A اثنان ونحصل على T اثنان معكوس لـ x فاصلة y يساوي اثنان x زائد y على خمسة فاصلة x ناقص اثنان y على خمسة. الآن نحسب تركيب التحويلين T اثنان مركب T واحد. نضرب المصفوفتين A اثنان في A واحد لنحصل على المصفوفة A تساوي ثلاثة واحد سالب واحد ثلاثة. محدد هذه المصفوفة يساوي تسعة زائد واحد يساوي عشرة. معكوس المصفوفة A يساوي واحد على عشرة مضروب في المصفوفة ثلاثة سالب واحد واحد ثلاثة. وبالتالي T اثنان مركب T واحد معكوس لـ x فاصلة y يساوي ثلاثة x ناقص y على عشرة فاصلة x زائد ثلاثة y على عشرة. يمكن التحقق من أن هذا يساوي T واحد معكوس مركب T اثنان معكوس. لنلخص ما توصلنا إليه. أثبتنا أن التحويلين T واحد و T اثنان هما واحد لواحد من خلال حساب محددات مصفوفاتهما وإثبات أنها غير صفرية. أوجدنا التحويلات العكسية باستخدام معكوس المصفوفات. حسبنا تركيب التحويلين المعكوس وتحققنا من أن معكوس التركيب يساوي تركيب المعكوسين بالترتيب العكسي. هذه النتائج تؤكد الخصائص الأساسية للتحويلات الخطية العكسية.