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蒙特卡洛方法是一种重要的数值计算技术，它的核心思想是利用随机抽样来解决复杂的数学问题。这种方法以摩纳哥的蒙特卡洛赌场命名，因为它大量使用了随机性。右边的图展示了一个经典例子：通过在正方形内随机投点来估算圆周率。
让我们详细了解用蒙特卡洛方法估算圆周率的原理。首先在边长为2的正方形内画一个半径为1的圆。正方形面积是4，圆的面积是π。当我们随机投点时，点落在圆内的概率等于圆面积与正方形面积的比值，也就是π除以4。因此，π约等于4倍的圆内点数与总点数的比值。
现在让我们观看蒙特卡洛方法的动态模拟过程。我们会逐步增加随机投点的数量，同时实时计算π的估计值。可以看到，随着投点数量的增加，我们的估计值会逐渐收敛到π的真实值3.14159。这就是蒙特卡洛方法的魅力所在。
蒙特卡洛方法在许多领域都有广泛应用。在物理学中，它用于粒子物理模拟和量子力学计算。在金融学中，用于期权定价和风险评估。在工程学中，用于可靠性分析和系统优化。右图显示了蒙特卡洛估计的收敛性：随着样本数量增加，估计值逐渐收敛到真实值。
总结一下我们今天学习的内容：蒙特卡洛方法是一种强大的数值计算技术，它通过随机抽样来解决复杂的数学问题。我们通过估算圆周率的例子看到了它的工作原理。这种方法在现代科学和工程中有着广泛的应用，从物理模拟到金融建模都能看到它的身影。记住，样本数量越多，结果就越精确。