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这是一个关于概率的问题。小王每天在跑步和跳绳中选择一项锻炼。他的选择概率取决于天气情况。在不下雪的时候，他跑步的概率为百分之八十，跳绳的概率为百分之二十。在下雪天，他跑步的概率为百分之二十，跳绳的概率为百分之八十。天气的变化也有一定规律，如果前一天不下雪，第二天下雪的概率为百分之六十。如果前一天下雪，第二天仍下雪的概率为百分之四十。
现在我们来解决第一问。设第n天不下雪的概率为p下标n。已知第一天不下雪，所以P1等于1。根据全概率公式，我们可以建立递推关系：p下标n等于负零点二乘以p下标n减1加零点六。利用这个递推关系，我们可以计算出P2等于零点四，P3等于零点五二。
接下来求p下标n的通项公式。这是一个一阶线性非齐次递推关系。我们先求不动点，设p星等于负零点二乘以p星加零点六，解得p星等于零点五。然后变换递推关系，得到p下标n减零点五等于负零点二乘以括号p下标n减1减零点五括号。这形成了一个等比数列，公比为负零点二，首项为零点五。因此通项公式为p下标n等于零点五加零点五乘以负零点二的n减1次方。
现在解决第二问，求小王第n天通过运动消耗能量X的数学期望。X的可能取值为三百卡路里跑步或二百卡路里跳绳。我们需要先计算第n天跑步和跳绳的概率。跑步的概率等于零点六倍p下标n加零点二，跳绳的概率等于零点八减零点六倍p下标n。因此数学期望E[X]等于三百乘以跑步概率加二百乘以跳绳概率，化简后得到六十倍p下标n加二百二十。将p下标n的通项公式代入，最终得到E[X]等于二百五十加三十乘以负零点二的n减一次方。
让我们总结一下这道概率问题的解答。第一问中，我们求出了P1等于1，P2等于零点四，P3等于零点五二，并推导出通项公式p下标n等于零点五加零点五乘以负零点二的n减一次方。第二问中，我们计算出数学期望E[X]等于二百五十加三十乘以负零点二的n减一次方。解题的关键是建立递推关系和运用全概率公式。这类问题在概率论与数理统计中有重要应用。