视频字幕
托勒密定理是古希腊数学家托勒密发现的一个重要几何定理。它描述了圆内接四边形中，对角线乘积与边长乘积之间的关系。定理表述为：对角线AC与BD的乘积，等于相对边AB与CD的乘积，加上相对边AD与BC的乘积。
现在我们来证明托勒密定理。证明的关键是在对角线AC上构造一个辅助点P，使得角ABP等于角DBC。通过这样的构造，我们可以得到两对相似三角形：三角形ABP相似于三角形DBC，三角形PBC相似于三角形ABD。
根据相似三角形的性质，我们可以建立比例关系。从三角形ABP相似于三角形DBC，我们得到AB比DB等于AP比DC等于BP比BC。从三角形PBC相似于三角形ABD，我们得到PB比AB等于BC比BD等于PC比AD。由这些比例关系，我们可以得到AB乘以DC等于DB乘以AP，以及AB乘以PC等于BD乘以PB。
现在我们完成托勒密定理的证明。将前面得到的两个比例式相加，得到AB乘以DC加上AB乘以PC等于DB乘以AP加上BD乘以PB。提取公因子AB和BD，得到AB乘以DC加PC的和等于BD乘以AP加PB的和。由于点P在对角线AC上，所以DC加PC等于AC，AP加PB也等于AC。因此我们得到了托勒密定理：AC乘以BD等于AB乘以CD加上AD乘以BC。
总结一下托勒密定理的要点。托勒密定理是关于圆内接四边形的重要几何定理，它表述为对角线乘积等于相对边乘积之和。我们通过构造辅助点和建立相似三角形完成了证明。托勒密定理还有逆定理，即如果四边形满足这个等式，那么它一定内接于圆。这个定理在几何证明和计算问题中有着广泛的应用。