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今天我们来推导年金计算公式。年金是指在一定时期内，每期等额收付的款项。普通年金是每期期末支付，即付年金是每期期初支付。我们用P表示每期支付金额，r表示每期利率，n表示总期数，FV表示终值，PV表示现值。
现在推导普通年金的终值公式。第一期期末支付的P，到第n期期末时经过了n减1期的复利，其终值为P乘以1加r的n减1次方。第二期期末支付的P，到第n期期末时经过了n减2期的复利。最后一期期末支付的P没有经过复利。普通年金的终值是所有这些支付在第n期期末的终值之和。
我们发现这是一个等比数列，首项为P，公比为1加r，共有n项。根据等比数列求和公式，Sn等于首项乘以公比的n次方减1，再除以公比减1。将参数代入公式，得到普通年金终值公式：FV等于P乘以1加r的n次方减1，再除以r。
接下来推导普通年金的现值公式。现值是指在第0期末的价值。第1期期末支付的P，其现值为P除以1加r。第2期期末支付的P，其现值为P除以1加r的平方。第n期期末支付的P，其现值为P除以1加r的n次方。普通年金的现值是所有这些支付的现值之和，经过等比数列求和得到现值公式。
总结一下年金计算公式。普通年金终值公式为P乘以1加r的n次方减1除以r，现值公式为P乘以1减去1加r的负n次方除以r。即付年金的公式等于普通年金乘以1加r。这些公式广泛应用于贷款分期付款计算、退休金规划、投资收益评估和保险精算等领域。