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我们需要解一元二次方程 x 的平方加 3x 加 1 等于 0。这是标准的一元二次方程形式，我们可以使用求根公式来求解。首先识别系数：a 等于 1，b 等于 3，c 等于 1。
现在我们将系数代入求根公式。x 等于负 3 加减根号下 3 的平方减去 4 乘以 1 乘以 1，再除以 2 乘以 1。接下来计算判别式：判别式等于 b 的平方减去 4ac，即 3 的平方减去 4 乘以 1 乘以 1，等于 9 减去 4，结果是 5。因此公式简化为 x 等于负 3 加减根号 5，再除以 2。
现在我们分别计算两个解。第一个解 x1 等于负 3 加根号 5 除以 2，约等于负 0.382。第二个解 x2 等于负 3 减根号 5 除以 2，约等于负 2.618。因此，方程 x 的平方加 3x 加 1 等于 0 的解为 x 等于负 3 加减根号 5 除以 2。
最后我们验证解的正确性。将 x1 等于负 3 加根号 5 除以 2 代入原方程，计算得到结果为 0，验证正确。同样，将 x2 等于负 3 减根号 5 除以 2 代入原方程，结果也为 0，验证正确。因此，我们求得的两个解都是正确的。
总结一下我们解一元二次方程的过程：首先识别方程的标准形式，确定系数 a、b、c。然后使用求根公式，计算判别式得到两个实数解。最后验证解的正确性。求根公式是解二次方程的通用而有效的方法。