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我们需要求函数 f(x) 等于根号下 x 平方减 3x 加 2，加上 1 除以 ln(x-1) 的定义域。这个函数包含平方根和分式，其中分母是对数函数，所以我们需要分析每个部分的限制条件。
现在我们分析函数的三个限制条件。第一，平方根下的表达式 x 平方减 3x 加 2 必须大于等于零。第二，对数函数的真数 x 减 1 必须大于零。第三，分母 ln(x-1) 不能等于零。让我们在图上标出关键点 x 等于 1 和 x 等于 2。
现在我们逐一求解这些不等式。首先，x 平方减 3x 加 2 大于等于零，因式分解得到 (x-1)(x-2) 大于等于零，解得 x 小于等于 1 或 x 大于等于 2。其次，x 减 1 大于零，解得 x 大于 1。最后，ln(x-1) 不等于零，即 x 减 1 不等于 1，所以 x 不等于 2。
现在我们求所有条件的交集。我们需要同时满足 x 小于等于 1 或 x 大于等于 2，且 x 大于 1，且 x 不等于 2。首先结合前两个条件，由于 x 大于 1，所以只能取 x 大于等于 2。然后结合 x 不等于 2 的条件，最终得到 x 大于 2。因此，函数的定义域是开区间 (2, 正无穷)。
总结一下，我们通过分析平方根、对数和分式的限制条件，运用因式分解方法求解二次不等式，最终通过求解三个条件的交集，得到了函数的定义域为开区间 (2, 正无穷)。这种系统性的方法可以应用于求解各种复合函数的定义域问题。