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傅立叶变换是数学和工程学中的一个重要概念。它的核心思想是，任何复杂的信号都可以分解为不同频率的正弦波的叠加。通过这种分解，我们可以从频率的角度来分析和理解信号的特性。
傅立叶变换的数学定义包括正变换和逆变换两个公式。正变换将时域函数f(t)转换为频域函数F(ω)，而逆变换则将频域函数转换回时域。这两个公式构成了时域和频域之间的桥梁，使我们能够在两个域之间自由转换。
从几何角度理解，傅立叶变换是将信号投影到不同频率的基函数上。这些基函数是复指数函数，包含正弦和余弦分量。变换的结果表示原信号与各个频率基函数的相似程度，频率越匹配，投影值越大。
傅立叶变换在现代科技中有着广泛的应用。在信号处理中，它用于滤波和降噪；在图像处理中用于压缩和增强；在音频处理中进行频谱分析；在通信系统中实现调制解调；在物理学中应用于量子力学和光学研究。这个演示展示了如何通过频域滤波去除信号中的高频噪声。
总结一下我们学到的内容：傅立叶变换是连接时域和频域的重要桥梁，它的核心思想是将复杂信号分解为不同频率的简单成分。通过复指数函数作为基函数，我们可以分析信号的频率特性。傅立叶变换在信号处理、图像处理、通信系统等领域有着广泛应用，是现代科技发展的重要数学基础。