视频字幕
矩阵的合同是线性代数中的一个重要概念。如果存在一个可逆矩阵P，使得B等于P的转置乘以A再乘以P，那么我们就说矩阵A与矩阵B是合同的。这里P的转置表示将矩阵P的行和列互换得到的矩阵。
矩阵合同具有等价关系的三个基本性质。首先是反身性，任何矩阵都与自身合同，因为A等于单位矩阵的转置乘以A再乘以单位矩阵。其次是对称性，如果A与B合同，那么B也与A合同。最后是传递性，如果A与B合同，B与C合同，那么A与C也合同。此外，合同矩阵还具有相同的秩。
让我们通过一个具体例子来理解矩阵合同。设A是二阶单位矩阵，B是对角线元素都为4的二阶矩阵。我们要证明A与B合同。取P为对角线元素都为2的矩阵，计算P的转置乘以A再乘以P，结果正好等于B，因此A与B合同。
矩阵合同在二次型理论中有重要应用。二次型是关于变量的二次齐次多项式，可以用矩阵形式表示为X的转置乘以矩阵A再乘以X。当我们进行坐标变换时，新的二次型矩阵恰好是原矩阵经过合同变换得到的，这说明合同变换保持了二次型的本质特征。
总结一下矩阵合同的要点。矩阵合同是指存在可逆矩阵P使得B等于P的转置乘以A再乘以P。它具有等价关系的三个性质：反身性、对称性和传递性。合同矩阵具有相同的秩。在二次型理论中，合同变换保持了二次型的本质特征，这使得矩阵合同成为研究二次型的重要工具。