这道题如何解---反比例函数面积问题
【4】如图,一次函数 y₁ = kx + b (k ≠ 0) 的图象与反比例函数 y₂ = m/x (m ≠ 0) 的图象相交于 A (1, 3), B (n, -1) 两点.
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式;
(2) 根据图象,直接写出 y₁ > y₂ 时,x 的取值范围;
(3) 过点 B 作直线 OB, 交反比例函数图象于点 C, 连接 AC, 求 △ABC 的面积.
**Graph Description:**
* **Type:** Coordinate plane graph showing a linear function and an inverse proportion function.
* **Coordinate Axes:** X-axis and Y-axis are shown, intersecting at the origin O, labeled (0, 0). Arrows indicate the positive direction of both axes.
* **Functions:**
* A straight line representing the linear function y₁ = kx + b. It passes through points A and B.
* A curve representing the inverse proportion function y₂ = m/x. It consists of two branches, one in the first quadrant and one in the third quadrant. The line intersects this curve at points A and B.
* **Points:**
* Point A is labeled in the first quadrant, located at the intersection of the line and the curve. Its coordinates are given as (1, 3).
* Point B is labeled in the third quadrant, located at the intersection of the line and the curve. Its coordinates are given as (n, -1).
* Point C is labeled in the first quadrant, located on the curve. It is the intersection point of the line OB (passing through O and B) and the inverse proportion function graph.
* Point O is the origin (0, 0).
* **Lines/Segments:**
* The straight line passes through A and B.
* The curve is the graph of the inverse proportion function.
* A line segment connects A and C.
* A line passes through O and B and intersects the curve at C. This implies O, B, and C are collinear.
视频信息
答案文本
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这是一道关于一次函数与反比例函数交点的综合题目。题目给出一次函数 y 等于 k x 加 b 与反比例函数 y 等于 m 除以 x 相交于 A 点坐标为 1 逗号 3,B 点坐标为 n 逗号负 1。我们需要求出两个函数的表达式,确定不等式的解集,并计算三角形面积。
现在我们来求解两个函数的表达式。首先,将点 A 的坐标 1 逗号 3 代入反比例函数 y 等于 m 除以 x,得到 3 等于 m 除以 1,所以 m 等于 3。反比例函数表达式为 y 等于 3 除以 x。接下来将点 B 的坐标 n 逗号负 1 代入,得到负 1 等于 3 除以 n,解得 n 等于负 3。最后将两点坐标代入一次函数,建立方程组求解,得到 k 等于 1,b 等于 2,所以一次函数表达式为 y 等于 x 加 2。
现在我们来求解不等式 y 1 大于 y 2 的 x 取值范围。将函数表达式代入得到 x 加 2 大于 3 除以 x。移项通分后得到 x 的平方加 2 x 减 3 除以 x 大于 0,因式分解为 x 加 3 乘以 x 减 1 除以 x 大于 0。分析符号可知,当负 3 小于 x 小于 0 时,或者当 x 大于 1 时,不等式成立。图中黄色区域表示一次函数图像在反比例函数图像上方的部分。
最后我们来计算三角形 A B C 的面积。首先求直线 O B 的表达式,由于直线过原点和点 B 负 3 逗号负 1,设为 y 等于 k 撇 x,代入得 k 撇等于三分之一。然后求点 C 的坐标,联立直线 O B 和反比例函数的方程,解得 x 等于 3 或 x 等于负 3。由于 x 等于负 3 对应点 B,所以点 C 的坐标为 3 逗号 1。最后使用坐标公式计算三角形面积,得到面积等于 8。
通过这道题我们学习了一次函数与反比例函数的综合应用。首先利用交点坐标求出函数表达式,然后通过不等式分析确定函数大小关系的 x 取值范围,最后计算三角形面积。这类问题的关键是准确利用交点坐标来确定函数中的未知参数。