已知函数\(f(x)=2\sin x - x\cos x - x\)，\(f'(x)\)为\(f(x)\)的导数。证明：\(f'(x)\)在区间\((0,\pi)\)存在唯一零点。若\(x\in(0,\pi)\)时，\(f(x)\geq ax\)，求a的取值范围。

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我们有函数f(x)等于2倍正弦x减去x倍余弦x再减去x。我们需要证明它的导数在0到π区间内存在唯一零点，并求参数a的取值范围。首先求导数：f撇x等于余弦x加上x倍正弦x减去1。 现在证明f撇x在0到π区间内存在零点。由于f撇x在此区间连续，我们计算特殊点的函数值。在π/6处，f撇值约为0.128大于0。在5π/6处，f撇值约为负0.557小于0。根据介值定理，在这两点之间必存在零点。 为证明零点唯一性，我们求二阶导数。f双撇x等于x乘以余弦x。当x在0到π/2时，x大于0且余弦x大于0，所以f双撇x大于0，f撇x单调递增。当x在π/2到π时，x大于0但余弦x小于0，所以f双撇x小于0，f撇x单调递减。因此f撇x先增后减，最多有一个零点。 现在求参数a的取值范围。不等式f(x)大于等于ax对x在0到π成立，等价于a小于等于f(x)除以x对所有x成立。设g(x)等于f(x)除以x，需要求其最小值。计算端点极限都等于0。通过单调性分析可知g(x)在区间内大于0，下确界为0。因此a小于等于0。 总结一下我们的解题过程：首先通过求导得到f撇x等于余弦x加x正弦x减1。然后利用介值定理证明了零点存在性，通过二阶导数分析证明了零点唯一性。对于第二个问题，我们将不等式转化为求函数最小值问题，最终得到参数a的取值范围为负无穷到0。