Mathematical expectation is a fundamental concept in probability theory. It represents the average value we would expect from a random variable if we repeated an experiment many times. For example, when rolling a fair six-sided die, each outcome has a probability of one-sixth.
让我们逐步计算公平六面骰子的期望值。首先，列出从1到6的所有可能结果，每个结果的概率都是六分之一。然后应用公式，将每个结果乘以其概率并求和。这得到二十一除以六，等于三点五。
对于连续型随机变量，期望值通过积分来计算。公式是x乘以概率密度函数f(x)在整个定义域上的积分。以均匀分布为例，在区间a到b上，概率密度函数是常数，期望值恰好是区间的中点。
数学期望是概率论中的核心概念，用来描述随机变量的平均取值。对于离散型随机变量，期望是各个可能取值与其概率的乘积之和。对于连续型随机变量，期望用积分来定义。以投掷骰子为例，每个面出现的概率都是六分之一，期望值为三点五。
让我们通过一个抛硬币游戏来理解期望的计算。游戏规则是：抛到正面得2分，抛到反面得0分，每次抛硬币正面和反面的概率都是0.5。根据期望的定义，我们计算得到期望得分为1分。这意味着如果我们多次重复这个游戏，平均每次能得到1分。
从直观角度理解，期望值就像是随机变量分布的重心。根据大数定律，当我们进行大量重复实验时，样本的平均值会趋向于理论期望值。这张图展示了抛硬币游戏中，随着实验次数增加，实际平均得分逐渐接近理论期望值1分的过程。
数学期望具有重要的性质。首先是线性性质，即两个随机变量线性组合的期望等于各自期望的线性组合。常数的期望等于常数本身。对于独立的随机变量，乘积的期望等于期望的乘积。从几何角度看，期望值代表分布的重心或平衡点。
总结一下我们学习的内容：数学期望是描述随机变量平均取值的重要概念，对于离散型随机变量用求和计算，连续型用积分计算。期望具有线性性质等重要运算法则。根据大数定律，样本均值会趋向于理论期望值。数学期望在概率论、统计学和实际应用中都有广泛的用途。