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角平分线定理是三角形几何中的重要定理。它说明在三角形ABC中，如果AD是角A的平分线，交BC于点D，那么AB与AC的比值等于BD与CD的比值。
为了证明角平分线定理，我们需要作辅助线。过点C作AD的平行线，交BA的延长线于点E。这样我们就构造了一个新的图形，可以利用平行线的性质来进行证明。
现在我们利用平行线的性质。由于AD平行于EC，根据平行线被截线所截的性质，我们可以得到角BAD等于角AEC，这是同位角相等。同时角CAD等于角ACE，这是内错角相等。
现在我们利用角平分线的性质。因为AD是角A的平分线，所以角BAD等于角CAD。结合前面得到的角的关系，我们可以推出角AEC等于角ACE，这说明三角形ACE是等腰三角形，因此AE等于AC。
最后，我们应用平行线分线段成比例定理。在三角形BCE中，由于AD平行于EC，根据该定理，BA与AE的比等于BD与CD的比。将AE替换为AC，我们就得到了角平分线定理的结论：AB与AC的比等于BD与CD的比。角平分线定理证明完成！