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角平分线定理是三角形几何中的重要定理。它说明在三角形ABC中,如果AD是角A的平分线,交BC于点D,那么AB与AC的比值等于BD与CD的比值。
为了证明角平分线定理,我们需要作辅助线。过点C作AD的平行线,交BA的延长线于点E。这样我们就构造了一个新的图形,可以利用平行线的性质来进行证明。
现在我们利用平行线的性质。由于AD平行于EC,根据平行线被截线所截的性质,我们可以得到角BAD等于角AEC,这是同位角相等。同时角CAD等于角ACE,这是内错角相等。
现在我们利用角平分线的性质。因为AD是角A的平分线,所以角BAD等于角CAD。结合前面得到的角的关系,我们可以推出角AEC等于角ACE,这说明三角形ACE是等腰三角形,因此AE等于AC。
最后,我们应用平行线分线段成比例定理。在三角形BCE中,由于AD平行于EC,根据该定理,BA与AE的比等于BD与CD的比。将AE替换为AC,我们就得到了角平分线定理的结论:AB与AC的比等于BD与CD的比。角平分线定理证明完成!