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托勒密定理是古希腊数学家托勒密发现的重要几何定理。它描述了圆内接四边形的一个美妙性质：对于任意圆内接四边形，两条对角线长度的乘积等于两组对边乘积之和。
托勒密定理的数学表达式为：AC乘以BD等于AB乘以CD加上BC乘以DA。这里AC和BD是四边形的两条对角线，AB、BC、CD、DA是四条边。这个公式揭示了圆内接四边形中边长和对角线之间的精确数量关系。
让我们用正方形来验证托勒密定理。设正方形边长为a，那么对角线长度为a根号2。根据托勒密定理，对角线乘积应该等于对边乘积之和。计算得出：对角线乘积为2a的平方，对边乘积之和也是2a的平方，等式成立，验证了定理的正确性。
托勒密定理还有一个重要的逆定理：如果一个四边形满足对角线乘积等于两组对边乘积之和，那么这个四边形一定是圆内接四边形。这个逆定理为我们提供了判断四边形是否内接于圆的有效方法，在几何证明和复数几何中都有重要应用。托勒密定理巧妙地连接了几何与代数，是古典几何学的重要成果。
总结一下托勒密定理的要点：它描述了圆内接四边形的重要性质，即对角线乘积等于两组对边乘积之和。逆定理为我们提供了判断四边形是否内接于圆的方法。这个定理巧妙地连接了几何与代数，是古典几何学的经典成果，在现代数学中仍具有重要的应用价值。