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函数的凹凸性是描述函数图像弯曲方向的重要概念。当函数图像向上弯曲时，我们称其为凸函数或向上凸。当函数图像向下弯曲时，我们称其为凹函数或向下凹。
判断函数凹凸性的常用方法是利用二阶导数。当二阶导数大于零时，函数是凸的。当二阶导数小于零时，函数是凹的。当二阶导数等于零时，可能是拐点，函数在此处改变凹凸性。
判断函数凹凸性的具体步骤如下：首先求出函数的一阶导数，然后求出二阶导数。接着确定二阶导数在不同区间的符号，根据符号判断凹凸性。最后找出二阶导数为零的点，检查是否为拐点。
让我们通过一个具体例子来分析函数的凹凸性。对于函数 f(x) = x³ - 6x² + 9x，我们先求出一阶导数和二阶导数。令二阶导数等于零，得到 x = 2。当 x 小于 2 时，二阶导数小于零，函数是凹的。当 x 大于 2 时，二阶导数大于零，函数是凸的。因此点 (2, 6) 是拐点。
总结一下函数凹凸性的要点：凹凸性描述了函数图像的弯曲方向。二阶导数是判断凹凸性的有效工具。当二阶导数大于零时函数是凸的，小于零时函数是凹的。拐点是函数凹凸性改变的位置。掌握凹凸性分析对深入理解函数性质具有重要意义。