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我们需要求函数f(x)等于x的三次方加bx加c中参数b的值。已知在点二分之一处的切线与y轴垂直，也就是说切线是水平的。首先求导数，f撇x等于三x平方加b。然后计算切点处的斜率，f撇二分之一等于四分之三加b。由于切线与y轴垂直，斜率为零，所以四分之三加b等于零，解得b等于负四分之三。
现在我们分析零点的性质。由第一部分得到函数为f(x)等于x的三次方减四分之三x加c。已知f(x)有一个绝对值不大于1的零点，我们要证明所有零点的绝对值都不大于1。设x零是满足绝对值x零小于等于1的零点，那么f(x零)等于零，可以得到c等于四分之三x零减x零的三次方。将c代入原函数并进行因式分解，得到f(x)等于x减x零乘以x平方加x零x加x零平方减四分之三。接下来我们需要分析二次方程根的性质。
现在分析二次方程x平方加x零x加x零平方减四分之三等于零的判别式。判别式德尔塔等于3减3x零平方。当德尔塔大于等于零时，即x零平方小于等于1，也就是x零的绝对值小于等于1时，有三个实零点。当德尔塔小于零时，即x零的绝对值大于1时，有一个实零点和两个复零点。我们分析二次函数h(x)在区间负1到1上的性质。可以看到h(1)和h(负1)都大于等于零，且对称轴在区间内，这保证了实根都在区间负1到1内。
现在用反证法完成证明。假设存在零点x满足绝对值x大于1。在情况1中，我们已经证明当有三个实零点时，所有零点都在负1到1区间内，这与假设矛盾。在情况2中，如果已知零点x零的绝对值小于等于1，而实零点x一的绝对值大于1，那么复零点的模长受到约束，实零点也有上界。无论哪种情况，假设都导致矛盾。因此，所有零点的绝对值都不大于1，证明完毕。
总结一下本题的解题过程。首先通过切线与y轴垂直的条件，利用导数求得参数b等于负四分之三。然后利用已知零点的性质进行因式分解，将三次方程转化为一次因式和二次因式的乘积。接着分析二次方程的判别式，确定零点的分布情况。最后运用反证法，证明了所有零点的绝对值都不大于1。这道题综合运用了导数、因式分解和反证法等多种数学方法。