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勾三股四玄五是中国古代数学中的经典表述。勾指的是直角三角形的一条直角边，通常是较短的那条，长度为三。股指的是另一条直角边，通常是较长的那条，长度为四。玄指的是斜边，长度为五。这个表述体现了直角三角形三边之间的特殊关系。
现在我们来验证勾三股四玄五是否符合勾股定理。勾股定理表述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。对于三四五三角形，我们计算三的平方加四的平方，等于九加十六，等于二十五，正好等于五的平方。这证明了三四五确实构成一个完美的直角三角形。
勾三股四玄五在中国数学史上具有重要意义。早在《周髀算经》中就有相关记载，这比西方的毕达哥拉斯定理还要早。这个简单的三四五比例在实际应用中非常广泛，古代工匠用它来确保建筑的直角，现代工程师仍然使用这个原理进行测量和设计。它体现了中国古代数学的实用性和智慧。
除了经典的三四五，还有许多其他的勾股数组。比如五十二十三，八十五十七，七二十四二十五等等。这些数组都满足勾股定理。数学家还发现了生成勾股数的一般公式：对于任意正整数m大于n，可以用m平方减n平方、二mn、m平方加n平方来构成一组勾股数。
总结一下我们今天学习的内容。勾三股四玄五不仅体现了中国古代数学的智慧，也是勾股定理最简单的整数解。它在古代建筑工程中发挥了重要作用，至今仍有实用价值。这个简单的数字组合启发了数学家发现更多的勾股数组，展现了数学既美妙又实用的特性。