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我们来看一个梯形中三角形面积比的问题。在梯形ABCD中，AB平行于CD，对角线AC和BD相交于O点。已知三角形AOD与三角形DOC的面积比为2比3，我们需要求出三角形AOB与三角形COD的面积比。
首先，我们要识别相似三角形。因为AB平行于CD，所以三角形AOB与三角形COD相似。根据相似三角形的性质，它们的面积比等于相似比的平方，即AO与OC长度比的平方。
接下来分析三角形AOD和三角形DOC。这两个三角形有共同的顶点D，底边AO和OC在同一直线AC上，因此它们从D到AC的高相等。当高相等时，三角形的面积比等于底边之比。所以AO与OC的比等于2比3。
现在我们可以计算最终答案。根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形AOB与三角形COD的面积比等于AO与OC长度比的平方。将2比3代入，得到2除以3的平方，等于4除以9。因此，三角形AOB与三角形COD的面积比为4比9。
总结一下解题过程：首先利用平行线性质识别相似三角形，然后运用相似三角形面积比等于相似比平方的性质，接着利用共高三角形面积比等于底边比的关系，最终得出答案为4比9。