给我讲一下这道题---Question Number: 7. Question Stem: 当 $x \in [0, 2\pi]$ 时，曲线 $y = \sin x$ 与 $y = 2\sin \left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$ 的交点个数为 Options: A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

我们来看这道关于三角函数交点的题目。题目要求找到正弦函数 y 等于 sin x 与 y 等于 2 倍 sin 括号 3x 减去 π 除以 6 在区间 0 到 2π 内的交点个数。让我们先画出这两个函数的图像来直观地观察。 要找到两个函数的交点，我们首先分析它们的值域。正弦函数 y 等于 sin x 的值域是负1到1。而函数 y 等于 2 倍 sin 括号 3x 减去 π 除以 6 的值域是负2到2。由于交点必须满足两个函数值相等，所以交点只可能出现在第二个函数的值在负1到1范围内的区域。 接下来我们需要找到第二个函数值在负1到1范围内的区间。这等价于求解不等式：2倍sin括号3x减去π除以6的绝对值小于等于1，即sin括号3x减去π除以6的绝对值小于等于二分之一。通过求解这个不等式，我们得到6个有效区间。在这些绿色标记的区间内，两个函数可能有交点。 现在我们来验证每个有效区间内确实有交点。我们定义函数 f(x) 等于 sin x 减去 2 倍 sin 括号 3x 减去 π 除以 6。交点就是这个函数的零点。通过分析函数在各区间端点的符号变化，我们发现每个区间内函数都连续且端点符号相反，根据中间值定理，每个区间内恰好有一个零点。因此总共有6个交点。 让我们总结一下解题过程。首先，我们通过分析两个函数的值域，确定了交点可能存在的范围。然后求解不等式得到了6个有效区间。最后使用中间值定理验证了每个区间内有且仅有一个交点。因此，两个三角函数曲线在给定区间内共有6个交点，答案是C。