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向量与矩阵相乘具有重要的几何意义。当我们将一个向量与矩阵相乘时，实际上是对这个向量进行线性变换。矩阵充当变换的操作符，将原始向量映射到新的位置。
让我们看看具体的计算过程。矩阵A乘以向量v，通过矩阵乘法规则，我们得到新的向量。原始向量(2,1)经过变换后变成了(1,3)。这就是线性变换的结果。
线性变换有多种类型。缩放变换改变向量的长度，旋转变换改变向量的方向，剪切变换使空间产生倾斜，反射变换进行镜像翻转，投影变换将高维向量映射到低维空间。每种变换都对应特定的矩阵形式。
现在让我们看一个具体的旋转变换例子。旋转矩阵可以将向量绕原点旋转指定角度。当我们使用90度旋转矩阵时，原始向量会逆时针旋转90度到新的位置。
总结一下，向量与矩阵相乘的几何意义就是对向量进行线性变换。矩阵充当变换操作符，将原始向量映射到新的位置。这种变换包括缩放、旋转、剪切、反射等多种类型，结果向量表示原向量经过变换后的新位置。线性变换的重要特性是保持向量间的线性组合关系不变。