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射影定理是泛函分析中的一个基本定理。它告诉我们，在希尔伯特空间中，任意向量v都可以唯一地分解为两部分：一部分w在给定的闭合子空间W中，另一部分z在W的正交补空间中。这种分解写作v等于w加z，其中w称为v在子空间W上的正交射影。
现在我们来看射影定理的严格数学表述。设H是希尔伯特空间，W是H的闭合子空间。射影定理说，对于任意向量v属于H，存在唯一的w属于W，使得v减w的范数等于v减u的范数在所有u属于W中的最小值。这等价于说v减w正交于整个子空间W。这个特殊的w就是v在W上的正交射影，记作P下标W括号v。
射影算子P下标W具有重要的数学性质。首先是线性性，即P下标W对于向量的线性组合等于各向量射影的线性组合。其次是幂等性，即射影算子作用两次等于作用一次，这是因为子空间中的向量射影到自身就是它本身。最后，射影算子具有范数收缩性质，即射影向量的范数不超过原向量的范数。
让我们通过一个具体例子来理解射影定理。考虑三维空间中通过原点的平面W，由方程x加y加z等于零定义。对于向量v等于括号1逗号2逗号3括号，我们要求它在平面W上的射影。首先找到平面的法向量n等于括号1逗号1逗号1括号，然后使用射影公式：P下标W括号v等于v减去v与n的内积除以n的范数平方再乘以n。计算得到射影向量为括号负1逗号0逗号1括号。
总结一下我们学习的射影定理。射影定理是希尔伯特空间中的基本定理，它告诉我们任意向量都可以唯一地分解为子空间分量和正交分量。射影算子具有线性性、幂等性和范数收缩性等重要性质。这个定理在最优化、信号处理、机器学习等众多领域都有重要应用，为函数逼近和数值分析提供了坚实的理论基础。