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微积分是数学中最重要的分支之一，它研究变化率和累积。微积分包含两个核心部分：微分学研究变化率，比如曲线在某点的斜率；积分学研究累积，比如曲线下方的面积。这两个概念看似不同，但实际上密切相关。
极限是微积分的基础概念。它描述当一个变量无限接近某个值时，函数的行为趋势。比如这个例子中，当x接近2时，函数值接近4，即使在x等于2时函数未定义。极限帮助我们理解函数在特定点附近的行为，这是导数和积分概念的基础。
导数描述函数在某点的瞬时变化率。几何上，导数等于曲线在该点的切线斜率。我们可以通过割线的极限来理解导数：当两点之间的距离趋于零时，割线就变成了切线。导数在物理学中表示速度，在经济学中表示边际成本，应用非常广泛。
积分计算曲线下方的面积，表示函数值的累积。我们可以用矩形来近似这个面积：将区间分成许多小段，每段用一个矩形来近似。当矩形数量趋于无穷时，这些矩形的面积和就等于曲线下的精确面积。积分在物理学中表示位移，在经济学中表示总收益。
总结一下微积分的核心要点：极限是微积分的基础，描述函数的趋势行为；导数表示瞬时变化率，几何意义是切线斜率；积分表示累积量，几何意义是曲线下面积；微积分基本定理揭示了导数和积分的互逆关系；微积分在物理、工程、经济等领域都有广泛应用。掌握这些概念，你就踏入了高等数学的大门。