解答这道题---**Question Stem:** 已知函数f(x)的定义域为R, f(x) > f(x-1) + f(x-2), 且当x<3时, f(x) = x, 则下列结论中一定正确的是（ ） **Options:** A. f(10) > 100 B. f(20) > 1000 C. f(10) < 1000 D. f(20) < 10000 **Other Relevant Text:** Known function f(x) has domain R, f(x) > f(x-1) + f(x-2), and when x < 3, f(x) = x, then which of the following conclusions is definitely correct?

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我们来解答这道关于函数递推不等式的问题。已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x)大于f(x-1)加f(x-2)，且当x小于3时，f(x)等于x。因此我们可以得到f(1)等于1，f(2)等于2。现在需要判断哪个选项一定正确。 为了求解这个问题，我们构造一个辅助数列F(n)。定义F(1)等于1，F(2)等于2，对于n大于等于3，F(n)等于F(n-1)加F(n-2)。这实际上是一个斐波那契数列。通过数学归纳法可以证明，对于所有整数n大于等于3，都有f(n)大于F(n)。让我们计算前10项的值。 现在我们继续计算斐波那契数列到第20项。通过递推关系F(n)等于F(n-1)加F(n-2)，我们可以逐步计算出F(11)等于144，F(12)等于233，一直计算到F(20)等于10946。由于我们已经证明了f(20)大于F(20)，因此f(20)一定大于10946。 现在我们逐一分析各个选项。选项A说f(10)大于100，但我们只知道f(10)大于89，不能确定是否大于100。选项C说f(10)小于1000，虽然可能正确，但我们没有上界的证明。选项D说f(20)小于10000，但我们已经证明f(20)大于10946，这显然大于10000，所以选项D错误。而选项B说f(20)大于1000，由于f(20)大于10946，而10946远大于1000，所以选项B一定正确。 总结一下我们的解题过程：首先构造斐波那契数列作为函数f(x)的下界，然后通过数学归纳法证明对于所有整数n大于等于3，都有f(n)大于F(n)。接着计算得出F(20)等于10946，因此f(20)一定大于10946，也就大于1000。所以正确答案是选项B。