一元三次方程是代数学中的重要概念。它是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数是三次的整式方程。其一般形式为 a x 三次方加 b x 二次方加 c x 加 d 等于零，其中 a、b、c、d 是常数，且 a 不等于零。右边显示的是一个三次函数的图像，它与 x 轴的交点就是对应三次方程的根。
一元三次方程有重要的性质。首先，在复数范围内，一元三次方程总共有且只有三个根，包括重根。这些根可能是三个不同的实数根，或者一个实数根和一对共轭复数根，也可能是重根的情况。从图像上看，三次函数的图像至少与 x 轴相交一次，这意味着一元三次方程至少有一个实数根。右边显示的是一个有三个不同实数根的例子。
一元三次方程有多种解法。第一种是因式分解法，将方程转化为三个一次因式相乘等于零的形式。第二种是试根法结合综合除法，这是最常用的方法。首先利用有理根定理寻找一个根，有理根等于 p 除以 q，其中 p 是常数项的因数，q 是最高次项系数的因数。找到一个根后，使用综合除法将三次方程降次为二次方程，再求解二次方程得到其余根。第三种是换元法，适用于特殊形式的方程。虽然存在卡尔达诺公式，但形式复杂，实际中较少使用。
现在我们通过一个具体例子来演示解题过程。求解方程 x 三次方减 6 x 二次方加 11 x 减 6 等于零。首先使用试根法，尝试 x 等于 1，代入得到 1 减 6 加 11 减 6 等于零，所以 x 等于 1 是一个根。接下来使用综合除法，将原多项式除以 x 减 1，得到商式 x 二次方减 5 x 加 6。原方程变为 x 减 1 乘以 x 二次方减 5 x 加 6 等于零。对二次方程进行因式分解，得到 x 减 2 乘以 x 减 3 等于零。因此，方程的三个根分别是 x 等于 1、2、3。右边的图像显示了这三个根在坐标轴上的位置。
让我们总结一下一元三次方程的要点。一元三次方程的一般形式为 a x 三次方加 b x 二次方加 c x 加 d 等于零。在复数范围内，它总共有且只有三个根。常用的解法包括因式分解法和试根法结合综合除法。有理根定理是寻找根的重要工具。从几何角度看，三次函数图像至少与 x 轴相交一次，这保证了至少有一个实数根的存在。掌握这些知识点，就能够有效地解决一元三次方程问题。