2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线\(y=(x - 2)^{2}\)与\(x\)轴交于点\(A\)，与\(y\)轴交于点\(B\)，过点\(B\)作\(BC\parallel x\)轴，交抛物线于点\(C\)，过点\(A\)作\(AD\parallel y\)轴，交\(BC\)于点\(D\)，点\(P\)在\(BC\)下方的抛物线上（不与点\(B\)，\(C\)重合），连接\(PC\)，\(PD\)，设\(\triangle PCD\)的面积为\(S\)，则\(S\)的最大值是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4

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我们来分析这道关于抛物线和三角形面积的问题。题目给出抛物线 y 等于 x 减 2 的平方，我们需要找到它与坐标轴的交点，并构造相关的几何图形。 现在我们逐步确定各个关键点的坐标。首先求点A，令y等于0，得到x等于2，所以A点坐标为2逗号0。然后求点B，令x等于0，得到y等于4，所以B点坐标为0逗号4。接下来求点C，由于BC平行于x轴且过点B，所以BC的方程为y等于4。将y等于4代入抛物线方程，得到x等于0或x等于4，由于B点已经是0逗号4，所以C点坐标为4逗号4。最后求点D，由于AD平行于y轴且过点A，所以AD的方程为x等于2，因此D点坐标为2逗号4。 现在我们来建立三角形PCD面积的函数表达式。设点P的坐标为x下标P逗号y下标P，其中y下标P等于x下标P减2的平方。由于点P在BC下方的抛物线上，所以0小于x下标P小于4。三角形PCD的底CD长度为2，高为4减去y下标P，即4减去x下标P减2的平方。因此面积S等于二分之一乘以底乘以高，化简后得到S等于4减去x下标P减2的平方。 现在我们来求面积S的最大值。由于S等于4减去x下标P减2的平方，要使S最大，需要x下标P减2的平方最小。抛物线y等于x下标P减2的平方的顶点为2逗号0，在区间0到4内，当x下标P等于2时，x下标P减2的平方取得最小值0。此时点P就是点A，面积S的最大值为4减去0等于4。因此答案是D。 让我们总结一下解题过程。首先我们确定了抛物线与坐标轴的交点A和B，然后通过构造平行线得到了关键点C和D。接着建立了三角形PCD面积的函数表达式S等于4减去x下标P减2的平方。最后利用二次函数的性质，当x下标P等于2时，面积S取得最大值4。因此正确答案是D。