在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ = ρcosθ + 1. (1) 写出 C 的直角坐标方程

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我们需要将极坐标方程 ρ 等于 ρ 余弦 θ 加 1 转换为直角坐标方程。首先回顾极坐标与直角坐标的转换关系：x 等于 ρ 余弦 θ，y 等于 ρ 正弦 θ，ρ 的平方等于 x 的平方加 y 的平方。 第一步，我们利用转换关系 x 等于 ρ 余弦 θ。在原方程 ρ 等于 ρ 余弦 θ 加 1 中，将 ρ 余弦 θ 替换为 x，得到 ρ 等于 x 加 1。这样我们就消除了一个极坐标变量。 第二步，我们需要消除剩余的极坐标变量 ρ。从 ρ 等于 x 加 1，我们将两边平方得到 ρ 的平方等于 x 加 1 的平方。然后利用关系式 ρ 的平方等于 x 的平方加 y 的平方，代入得到 x 的平方加 y 的平方等于 x 加 1 的平方。 第三步，我们展开并化简方程。将 x 加 1 的平方展开得到 x 的平方加 2x 加 1。然后消去两边的 x 的平方项，最终得到 y 的平方等于 2x 加 1。这就是曲线 C 的直角坐标方程，它表示一条开口向右的抛物线。 总结一下，我们成功将极坐标方程转换为直角坐标方程。通过利用极坐标与直角坐标的转换关系，经过代入和化简，最终得到曲线C的直角坐标方程为y的平方等于2x加1，这是一条开口向右的抛物线。