韦达定理是代数学中的重要定理,它揭示了多项式方程的根与系数之间的关系。对于一元二次方程 a x 平方加 b x 加 c 等于零,其中 a 不等于零,设两个根为 x 一和 x 二,韦达定理告诉我们:两根之和等于负 b 除以 a,两根之积等于 c 除以 a。
韦达定理的第一个重要用法是不解方程直接求两根的和与积。对于方程 2 x 平方减 7 x 加 3 等于零,我们可以直接识别系数:a 等于 2,b 等于负 7,c 等于 3。根据韦达定理,两根之和等于负 b 除以 a,即负负 7 除以 2 等于 7 除以 2。两根之积等于 c 除以 a,即 3 除以 2。这样我们就得到了答案:和为 7 除以 2,积为 3 除以 2。
韦达定理的第二个重要用法是已知两根构造一元二次方程。如果已知两个根 x 一等于 3,x 二等于负 2,我们可以按照以下步骤构造方程:首先计算两根之和,3 加负 2 等于 1;然后计算两根之积,3 乘以负 2 等于负 6;最后代入一般形式 x 平方减两根之和乘以 x 加两根之积等于零,得到 x 平方减 x 减 6 等于零。
韦达定理的第三个重要用法是计算与根有关的代数式。对于方程 x 平方减 3 x 加 1 等于零,要求 x 一平方加 x 二平方的值。首先由韦达定理得到两根之和等于 3,两根之积等于 1。然后利用转化公式:x 一平方加 x 二平方等于两根之和的平方减去 2 倍的两根之积,即 3 的平方减去 2 乘以 1,等于 9 减 2 等于 7。
总结一下韦达定理的主要用法:第一,不解方程直接求两根的和与积;第二,已知两根构造一元二次方程;第三,计算与根有关的复杂代数式;第四,判断方程根的符号和性质;第五,检验求根结果的正确性。韦达定理是代数学中的重要工具,熟练掌握这些用法对解决二次方程相关问题非常有帮助。