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正十七边形是一个有十七条相等边和十七个相等角的多边形。一七九六年，年仅十九岁的数学家高斯证明了正十七边形可以用尺规作出。这是数学史上的重要发现，因为它解决了古希腊时代就存在的几何作图问题。
高斯万策尔定理指出，正n边形可以用尺规作出，当且仅当n是费马素数或不同费马素数的乘积。费马素数的形式是二的二的k次方加一。已知的费马素数有三、五、十七、二五七和六万五千五百三十七。因为十七等于二的二的二次方加一，是费马素数，所以正十七边形可以用尺规作出。
尺规作图正十七边形的核心是求解余弦二π除以十七的值。这需要解一个十七次代数方程，并将其分解为可用尺规求解的二次方程组。高斯证明了这个值可以表示为嵌套的平方根形式，因此可以用尺规作出。实际作图需要约六十四个步骤，包括多次开平方根运算。
实际作图正十七边形的步骤概述如下：首先作单位圆和基本直径。然后通过复杂的辅助线构造，求出特定的长度比值。最后利用这些比值在圆周上确定十七个等分点。整个过程需要约六十四个基本作图步骤，多次开平方根运算，以及精确的几何计算。虽然理论上可行，但实际操作极其复杂和精细。
总结一下，正十七边形可以用尺规作图，这是高斯的重要发现。十七是费马素数，满足可作图多边形的条件。作图原理基于求解复杂的代数方程。实际操作需要约六十四个精确的几何步骤。这一成果展现了数学理论与几何实践的完美结合。