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柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了向量内积与向量模之间的关系。在实数或复数向量空间中，两个向量的内积的绝对值小于或等于它们各自模的乘积。
柯西不等式的实数形式表述为：对于任意实数 a1, a2, 到 an 和 b1, b2, 到 bn，有 a1 乘以 b1 加 a2 乘以 b2 到 an 乘以 bn 的和的平方，小于或等于 a1 的平方加 a2 的平方到 an 的平方的和，乘以 b1 的平方加 b2 的平方到 bn 的平方的和。
柯西不等式的向量形式表述为：两个向量内积的绝对值小于或等于它们各自模的乘积。其中内积表示向量u和v的内积，双竖线表示向量的模。从几何意义上看，内积等于两向量模的乘积与夹角余弦的乘积。
柯西不等式等号成立的条件是当且仅当向量u和v线性相关时。也就是说，存在常数k，使得向量u等于k倍的向量v。特殊情况包括其中一个向量是零向量，或者两向量方向相同或相反。从几何意义上看，当两向量共线时等号成立。
总结一下我们学习的内容：柯西不等式描述了向量内积与模的关系，实数形式适用于有限维数列，向量形式体现了几何意义。等号成立当且仅当向量线性相关。这个重要不等式在数学分析和线性代数中有着广泛的应用。