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今天我们来证明圆锥体的体积公式。圆锥体的体积等于三分之一乘以π乘以底面半径的平方乘以高度。其中r是底面半径，h是高度。我们将使用微积分的方法来严格证明这个公式。
首先建立坐标系。我们将圆锥的顶点置于原点，圆锥的轴与z轴重合，底面位于z等于h处。在任意高度z处，圆锥的横截面是一个圆，其半径r(z)等于r除以h再乘以z，这表示半径与高度成正比。
现在我们使用薄圆盘切片法。在任意高度z处，我们取一个厚度为dz的薄圆盘。这个圆盘的面积等于π乘以半径的平方，即π乘以r除以h乘以z的平方。因此，这个薄圆盘的体积dV等于面积乘以厚度dz。
现在进行积分计算。圆锥的总体积等于从0到h对所有薄圆盘体积的积分。我们提取常数项π乘以r平方除以h平方，然后对z的平方进行积分。z的平方的积分是z的三次方除以3。代入上下限h和0，得到h的三次方除以3。最后化简，h平方约去，得到最终结果：圆锥体积等于三分之一π乘以r平方乘以h。
通过微积分的薄圆盘切片法，我们严格证明了圆锥体的体积公式。我们建立了合适的坐标系，确定了横截面半径与高度的线性关系，然后通过积分计算得到了V等于三分之一π乘以r平方乘以h的结果。这个证明过程展示了微积分在几何体积计算中的重要应用。