已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x+2|, x \leq 0 \\ \left|\log _{3} x\right|, x>0\end{array}\right.$ ，若方程 $f(x)-a=0$ 有四个根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1}

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我们来分析这个分段函数的图像。当x小于等于0时，函数是绝对值函数x加2的绝对值，顶点在负2逗号0。当x大于0时，函数是以3为底x的对数的绝对值，顶点在1逗号0。 要使方程f(x)等于a有四个根，水平线y等于a必须与函数图像有四个交点。观察图像可知，a必须大于0且小于2。当a在这个范围内时，左段和右段各有两个交点。 现在我们来求解四个根的具体表达式。对于左段方程绝对值x加2等于a，解得x1等于负a减2，x2等于a减2。对于右段方程绝对值log3x等于a，解得x3等于3的负a次方，x4等于3的a次方。验证可知这四个根满足从小到大的顺序。 现在计算目标表达式x3减x1加x4减x2。将四个根的表达式代入，经过化简得到3的a次方加3的负a次方加4。设g(a)等于这个表达式，我们需要求它在区间0到2上的取值范围。 最后我们分析函数h(a)等于3的a次方加3的负a次方的性质。求导得到h撇(a)等于ln3乘以括号3的a次方减3的负a次方。当a在0到2之间时，导数大于0，所以h(a)单调递增。计算边界值，当a趋于0时h(a)趋于2，当a趋于2时h(a)趋于82/9。因此目标表达式的取值范围是开区间6到118/9。