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二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组。例如,二x加三y等于七,x减y等于一。几何上,每个方程代表一条直线,方程组的解就是两条直线的交点。解二元一次方程组主要有两种方法:代入消元法和加减消元法。
代入消元法的基本思想是通过代入消去一个未知数。首先从方程组中选择一个方程,将其中一个未知数用另一个未知数表示。比如从x减y等于一得到x等于y加一。然后将这个表达式代入另一个方程,得到二倍括号y加一括号加三y等于七。展开后得到五y等于五,解得y等于一。最后代入求得x等于二。所以方程组的解是x等于二,y等于一。
加减消元法的基本思想是通过加减运算消去一个未知数。首先观察两个方程中同一未知数的系数。在我们的例子中,需要先将第二个方程乘以三,使y的系数变为负三。这样两个方程中y的系数就是三和负三,互为相反数。然后将两个方程相加,y项相消,得到五x等于十,解得x等于二。最后代入任一原方程求得y等于一。所以方程组的解仍然是x等于二,y等于一。
让我们通过一个练习例题来巩固所学方法。解方程组:三x加二y等于十二,x加四y等于十四。我们选择加减消元法。为了消去x,将第二个方程乘以负三,得到负三x减十二y等于负四十二。两式相加得到负十y等于负三十,解得y等于三。将y等于三代入第二个方程,得到x加十二等于十四,所以x等于二。因此方程组的解是x等于二,y等于三。我们可以验证:三乘二加二乘三等于十二,二加四乘三等于十四,都正确。
总结一下二元一次方程组的解法。我们学习了两种主要方法:代入消元法和加减消元法。代入消元法是用一个未知数表示另一个未知数,然后代入另一个方程消元。加减消元法是通过适当的变形,使两个方程相加或相减时能消去一个未知数。从几何角度看,二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标。无论用哪种方法,解题后都要记得验证答案的正确性。掌握这两种方法,就能熟练解决二元一次方程组问题了。