欧拉公式是数学中最美丽的公式之一。它表明 e 的 i theta 次方等于 cosine theta 加上 i 乘以 sine theta。在复平面上，这个公式描述了单位圆上的点，其中实部是余弦值，虚部是正弦值。
复数可以在复平面上用几何方式表示。复数 z 等于 a 加 b i 对应平面上的点，坐标为 a 逗号 b。复数的模长是从原点到该点的距离，幅角是与正实轴的夹角。这样，复数就可以用极坐标形式表示为模长乘以 e 的 i theta 次方。
让我们看看一些特殊角度的欧拉公式。当 theta 等于 0 时，e 的 i 乘 0 次方等于 1。当 theta 等于 pi 除以 2 时，结果是 i。当 theta 等于 pi 时，结果是负 1。当 theta 等于 3 pi 除以 2 时，结果是负 i。这些特殊值在单位圆上对应四个基本方向。
当 theta 等于 pi 时，我们得到著名的欧拉恒等式：e 的 i pi 次方加 1 等于 0。这个公式被称为数学中最美的公式，因为它连接了五个最重要的数学常数：自然对数的底 e、虚数单位 i、圆周率 pi、乘法单位元 1 和加法单位元 0。
总结一下我们学到的内容：欧拉公式 e 的 i theta 次方等于 cosine theta 加 i sine theta，它连接了指数函数与三角函数。复数可以用极坐标形式表示。特殊角度给出了重要的复数值。欧拉恒等式体现了数学的深刻美感。这些概念在物理学和工程学中都有广泛的应用。